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    2012GCT在职联考数学练习及参考答案3

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      1、设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知取出的两件中有一件不合格品,求另一件也是不合格品的概率。(0。2)

      【思路】在“已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下,另一件有两种情况(1)是不合格品,即一件为合格品,一件为不合格品(2)为合格品,即两件都是合格品。对于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;对于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下,(1)的概率,则(2/15)/(8/15+2/15)=1/5

      2、某人自称能预见未来,作为对他的考验,将1枚硬币抛10次,每一次让他事先预言结果,10次中他说对7次 ,如果实际上他并不能预见未来,只是随便猜测,则他作出这样好的答案的概率是多少?答案为11/64。

      【思路】原题说他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率。 即 C(7 10)0.5^7×0.5^3+……C(10 10)0.5^10, 即为11/64.

      3、成等比数列三个数的和为正常数K,求这三个数乘积的最小值

      【思路】a/q+a+a*q=k(k为正整数)由此求得a=k/(1/q+1+q)所求式=a^3,求最小值可见简化为求a的最小值。

      对a求导,的驻点为q=+1,q=-1.

      其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k^3.(mba不要求证明最值)

      4、掷五枚硬币,已知至少出现两个正面,则正面恰好出现三个的概率。

      【思路】可以有两种方法:

      1.用古典概型 样本点数为C(3,5),样本总数为C(2,5)C(3,5)C(4,5)C(5,5)(也就是说正面朝上为2,3,4,5个),相除就可以了;2.用条件概率 在至少出现2个正面的前提下,正好三个的概率。至少2个正面向上的概率为13/16,P(AB)的概率为5/16,得5/13假设事件A:至少出现两个正面;B:恰好出现三个正面。

      A和B满足贝努力独立试验概型,出现正面的概率p=1/2P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16A包含B,P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16所以:P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。

      5、设有n个球和n个能装球的盒子,它们各编有序号1,2,…n今随机将球分别放在盒子中,每个盒放一个,求两个序号恰好一致的数对个数的数学期望。(答案:1)

      【思路】1/nn,N个球进N个盒有N的N次方种排列,对号入座只有1种排列。

      6、若方程x2+p*x+37=0恰有两个正整数解x1,x2,则((x1+1)*(x2+1))/p=?

      (a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1

      【思路】题目说有两个正整数的根,故只能是1和37,p=-387、设F(n)=(n+1) n-1(n为自然数),则F(n):

      (a) 只能被n整除 (b)能被n*n整除 ……

      【思路】用二项式定理去做第二题,只考虑n的系数,有一个含n的项。系数中还有一个n.答案应为b。

      8、一张盒子中有4张卡片,其中两张卡片两面都是红色,一张卡片两面都是绿色,一张卡片一面红一面绿。任取其中一张,观察其一面的颜色,如果被观察的一面是绿的,求另一面也是绿色的概论。

      【思路】设A=被观察的一面是绿的,B=两面都是绿,则需求P(B/A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=1/4:1/2=1/2,所给答案却2/3?

      9、 在房间中有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章号码,求:(1)最小号码为5的概率,(2)最大号码为5的概率。

      【思路】最小号码为5 的概率:

      号码5已确定,另外2人的号码应从6、7、8、9、10中选出,所以概率为10/120=1/12同样最大号码为5的概率:

      号码5已确定,另外2人的号码应从1、2、3、4中选出,所以概率为6/120=1/20

      10、从5 双不同的鞋子中任取4 只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?

      【思路】可以这样理解,先算出没有两只配成一双的情况,然后用1去减一下便可。4只鞋中没有配成一双的情况:10只鞋按配对分成5组,只要每次从一组中取出一只便能保证没有配成双的情况,那么组合数为: 10×8×6×4任取4只的组合数为:10×9×8×7所以没有2只配对的概率为:10×8×6×4/10×9×8×7=8/21故至少2只成对的概率为1-8/12=13/21

      11、设有一个均匀的陀螺,其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1)上的诸数字,另一半上均匀地刻上区间[1,3)上的诸数字。旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2,3/2]上的概率。

      【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0,1)、[1,3]、[1/2,1)、[1,3/2]上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则:

      p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/8

      12、设某家庭有3个孩子,在已知至少有一个女孩的条件下,求这个家庭中至少有一个男孩的概率。

      【思路】设A为三人中至少有一个女孩,B为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩;P(A) =1-(1/2)*(1/2)*1/2=7/8 , P(AB)=1-(1/2)*(1/2)=3/4,所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。

      (这样分析是认为三个孩子是排序的,一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三种情况,总共有八个样本,这比抛硬币难理解一些)

      13、求极限部分不能正常显示,想要具体复习资料可以到清华版教材和相关复习资料。

      14、求极限:lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n) (n趋于正无穷);

      【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n)n->正无穷=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)……(1-1/n)(1+1/n)=lim1/2 * 3/2 *2/3 * 4/3……* (n-1)/n * (n+1)/n=lim(n+1)/2n=1/2

      15、如果数列{An}中,A1=1,且An+1=2nAn(n=1,2,…),则{An}的通项公式An=?

      【思路】An+1=2nAn => An+1/An=2n =>

      A2/A1=2 , A3/A2=2^2 ……

      (A2/A1)*(A3/A2)*……*( An /An-1)=2 22…… 2n-1=> An /A1=2 (1+2+…+n-1)=2n(n-1)/2=>An=2n(n-1)/2

      16、设有4只坏,每只都能以同样的落入4个格子中的任一个,求前2个球落入不同格子中的概率。

      【思路】分别设四球为1号, 2号,3号和4号1号球落入某个格子有4种可能,那么2号球就只有3种可能3号4号可落入4个格子中的任意,有4,4种可能所以应为4*3*4*4/44

      17、甲,乙二人同时同地绕400米跑道赛跑,甲速度每秒比乙快3米,知甲跑三圈后第一次赶上乙,求乙速度。( 6s/m)

      【思路】3*400/(V+3) = 2*400/V 得V=6 (m/s)已知f(xy)=f(x)+f(y)且f?(1)=a,x≠0,求f?(x)=? (答案为a/x)

      【思路1】原方程两边对Y进行求偏导xf?(xy)=f?(y) 其中f?(xy)与f?(y)都是对y偏导数xf?(x*1)=f?(1)=a      得 f?(x)=a/x

      【思路2】当⊿x→0时,令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x)由f?(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x=f(1+⊿x/x)/⊿x    =f?(1)/x=a/x

      18、已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x+y

      【思路1】设U=x+y,v=x-yf(u,v)=uvf?x=f?u*u?x+f?v*v?x=v*1+u*1=u+vf?y=f?u*u?y+f?v*v?y=v-uf?x+f?y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y   选A

      【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),

      令u=x+y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b)。

      结论:b应该是对的,复合函数是相对与自变量而言的,自变量与字母形式无关,参见陈文灯的考研书。

      19、已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围是什么?答案为(-2,-1)U(3,4)

      【思路】画图可得f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0代入计算即可A,B是一次随机实验的两个事件,则----A. A-(B-A)=A-B      B. A-(B-A)=A

      【思路】b,利用定义可得

      20、设X是连续型随机变量,其分布函数是F(X),如果EX存在,则当x->+∞时,1-F(x)是1/x的___。

      A、等价无穷小           B、高价无穷小C、低价无穷小           D、同价无穷小

      【思路】由于EX存在,xf(x)的无穷积分收敛且为1/x的高阶无穷小;因为函数g(x)=1/x的无穷积分积分不收敛可知,由比较判别法可知,如果为同阶或低阶无穷小,则xf(x)不收敛。

      21、设有编号为1,2,3,…,n的n个求和编号为1,2,3,…,n的n个盒子。现将这n个球放入n个盒子内,要求每个盒子内放一个球,并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为?

      【思路】任给2 个球的编号和盒子的编号相同,则剩下n-2个球没有一个编号相同;而剩下n-2个球没有一个编号相同的概率为1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!;[注意:上面用到了这n个球放入n个盒子内,要求每个盒子内放一个球,至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为1-1/2!+1/3!-…+(-1)^(n-1)/n!;]故恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同的概率为(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!);给定2个球的编号和盒子的编号相同后可能的投放方法为(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)。

      n个球中任取两个的可能取法为C(2,n);2者相乘得出:恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同,的投放方法的总数为C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)。

      当n趋于无穷大时,取法为(n!/2)*[e^(-1)];

      【思路】如果以m代替2,通解为C(m,n)*(n-m)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-m)/(n-m)!)注:机工版P52页21题如下:

      设有编号为1,2,3,4,5的5个求和编号为1,2,3,4,5的5个盒子。现将这5个球放入这5个盒子内,要求每个盒子内放一个球,并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为?

      取n=5;取法为(5!/2)*(1/2!-1/3!)=20库房有十箱零件(每箱都有许多),有6箱用新工艺做的,全合格。其余用旧工艺完成,75%的合格率。现随机打开一箱取出三个,检查其中一个为合格品,求另外两个也合格的概率。

      (答案为41/41=0.85)

      【思路1】Ai=正品 (i=1,2,3) B=新工艺 C=旧工艺P(B)=0.6 P(A/B)=1 P(C)=0.4 P(A/C)=3/4所求:P(A2*A3/A1)=P(A1*A2*A3)/P(A1)P(A1)=P(B)P(A1/B)+P(C)P(A1/C)=0.9P(A1*A2*A3)=P(B)P(A1*A2*A3/B)+P(C)P(A1*A2*A3/C)=0.6+0.4*(3/4)3P(A2*A3/A1)=P(A1*A2*A3)/P(A1)=41/48